33.关于 x 的一元二次方程 x2﹣(k+3)x+2k+2=0若方程有一根小于 1,求 k 的取值范围

33.关于 x 的一元二次方程 x2﹣(k+3)x+2k+2=0若方程有一根小于 1,求 k 的取值范围

分析 ：

（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（k-1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1=2、x2=k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．

解答：

（1）证明：∵在方程x2-（k+3）x+2k+2=0中，△=[-（k+3）]2-4×1×（2k+2）=k2-2k+1=（k-1）2≥0，

∴方程总有两个实数根．

（2）解：∵x2-（k+3）x+2k+2=（x-2）（x-k-1）=0，

∴x1=2，x2=k+1．

∵方程有一根小于1，

∴k+1＜1，解得：k＜0，

∴k的取值范围为k＜0．

本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：

（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；

（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于1，找出关于k的一元一次不等式．